?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

У Николая Кузанского была выразительная геометрическая метафора для иллюстрации отношения человеческого к божественному. Бог – это круг, идеальная фигура, а процесс познания подобен вписыванию в него серии многоугольников. По мере роста числа углов периметр многоугольника приближается к длине окружности, но никогда ее не достигает. Заменив слово «Бог» на слово «реальность», мы получим картинку, пригодную и как символ прогресса естествознания.


Но что, если мы будем приближаться к окружности не изнутри, а снаружи, и использовать не выпуклые многоугольники, а фигуры, ограниченные только прямыми углами? Зрительно наша фигура тоже будет все более походить на круг, но вот ее периметр будет всегда оставаться прежним – равным периметру исходного квадрата.

Этот парадокс привлек мое внимание еще в школе и вызывает восхищение по сей день: в забавном, однако, мире мы живем! А те, кто не считает науку адекватным способом познания, наверное, представляют себе ее как последовательность этих вырезных фигур с одинаковым периметром ;)

Circles

Картинка содержит материалы вот этого и этого сайтов.

Posts from This Journal by “математика” Tag

  • Мечтой увенчанный язык – плохой товарищ, где нет чисел

    Числа – может быть, самый поразительный инструмент нашего мышления: пифагорейцы недаром им поклонялись. Психологи интенсивно изучают «чувство…

  • Давно наука разложила

    Слово «наука» часто употребляют в значении «система знания». При таком раскладе математика, конечно – тоже наука, более того, «царица наук», как…

  • Много званых

    Говорят, свой знаменитый принцип Вильфредо Парето сначала сформулировал на огороде, когда обнаружил, что 80% всех горошин приходится на 20%…

Comments

( 58 comments — Leave a comment )
alek_morse
Feb. 12th, 2016 01:28 am (UTC)
Квадратура круга и круговерть квадрата.
egovoru
Feb. 12th, 2016 01:30 am (UTC)
Если вписан круг в квадрат,
Он квадрату - младший брат.
Если круг вокруг квадрата,
Младший брат тогда - квадрат ;)

Углы твердят, что Круг неточен,
Углы твердят, что он порочен,
Что постоянно замкнут Круг,
Что недовольны все вокруг,
Что закругляться и дела
Ему сдавать пора пришла.

Многоугольник - это круг... (В пределе).
Уже когда он круг почти,
Число сторон его сочти -
Неделю будешь ты, мой друг, при деле.

(Александр Фрейфельд)

Edited at 2016-02-12 03:19 am (UTC)
(no subject) - alek_morse - Feb. 12th, 2016 04:02 am (UTC) - Expand
barson
Feb. 12th, 2016 06:47 am (UTC)
Интересно. Только, по-моему, оба способа можно использовать как "изнутри", так и "снаружи".
egovoru
Feb. 12th, 2016 01:02 pm (UTC)
С описанными выпуклыми многоугольниками, конечно, происходит то же самое, что и со вписанными: а именно, их периметр постоянно уменьшается и стремится к длине окружности.

Но вот что касается вписывания прямоугольных фигур, иными словами - мощения круга квадратными плитками, то тут ситуация, кажется, сложнее. Может, Вы еще не настолько забыли геометрию, насколько я, и сможете решить задачу о том, что делается с периметром совокупности таких плиток внутри круга?

Вот здесь пытаются решить подобную задачу, но фигуры там не вписанные. Мне представляется, что периметр такой совокупности плиток внутри круга все же тоже растет и приближается к окружности, но математически-строго доказать это я не умею :(
(no subject) - barson - Feb. 12th, 2016 06:48 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 13th, 2016 12:50 am (UTC) - Expand
gg59
Feb. 12th, 2016 07:24 am (UTC)
Отличный образ: если предположить, что наши познания превысят божеские - в своем объеме они завершены.
egovoru
Feb. 12th, 2016 01:05 pm (UTC)
Кузанский, будучи не только богословом, но и математиком, избрал этот образ именно потому, что хорошо знал, что, каково бы ни было число сторон многоугольника, его периметр никогда не превысит длины описанной окружности ;)

Но при пиближении к этому пределу возникают другие проблемы:

Многоугольник - это круг... (В пределе).
Уже когда он круг почти,
Число сторон его сочти -
Неделю будешь ты, мой друг, при деле.

(Александр Фрейфельд)
a_gorb
Feb. 12th, 2016 07:38 pm (UTC)
Суровые сибирские лесники обнаружили, что отношение обхвата дерева к его толщине примерно равно трем. (Анекдот)

Вы привели хороший пример об особенностях науки. Действительно, наука опирается на логику, а не на произвольные рассуждения или простые данные органов чувств.
Эти примеры демонстрируют то, что каждый раз надо доказывать, рассуждая логически. Тут мало простых интуитивных представлений. «Существенным достижением Коши является то, что он ясно осознал, что, поскольку дело касается математических понятий, всякая ссылка на интуитивное представление о непрерывном движении должна быть отброшена.» [Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?] (речь идет как раз об определении предела)
egovoru
Feb. 13th, 2016 12:41 am (UTC)
"Действительно, наука опирается на логику, а не на произвольные рассуждения или простые данные органов чувств"

Только, заметьте, здесь ведь мы имеем дело не с наукой, а с математикой, т.е. с по определению дедуктивной системой ;) Разумеется, математика опирается на логику - ведь именно с помощью логики эта самая математическая дедукция и производится. Что же касается естествознания, то, увы, в нем и логика - не помощник. Скажем, по логике один и тот же объект никак не может быть и волной, и частицей - а вот поди ж ты ;)

Логика сама по себе - тоже ведь не откровение, а просто обобщеннный результат наших самых базовых наблюдений за миром. Поэтому в принципе возможны разные логические системы. Помните, Вы мне рассказывали про очень интересную такую систему, которая исходит не из двух, а из трех принципиальных состояний: есть, нет и неизвестно?
a_gorb
Feb. 13th, 2016 10:15 am (UTC)
”Только, заметьте, здесь ведь мы имеем дело не с наукой, а с математикой,”
Я рассматривал ваш пример как некую метафору, относящуюся ко всей науке.

”Что же касается естествознания, то, увы, в нем и логика - не помощник. Скажем, по логике один и тот же объект никак не может быть и волной, и частицей - а вот поди ж ты ;)”
Помощник, да еще какой. Многие вещи в естествознании были открыты сначала чисто теоретически, т.е. с помощью логики. Кстати многие из этих открытий были сделаны как раз в силу того, что надо было разрешить возникшие противоречия, типа волна-частица. (Если надо, то могу привести примеры.)

”Логика сама по себе - тоже ведь не откровение, а просто обобщеннный результат наших самых базовых наблюдений за миром.”
Разумеется. Поэтому (я повторяюсь) наука строится на основе уже имеющегося знания, которое используется для новых экспериментов (опытов, наблюдений), и все это вместе дает нам новое знание. В том-то и особенность науки, что ее построения не произвольны (как на правом рисунке), а основываются на имеющемся знании (как на левом).
(no subject) - egovoru - Feb. 13th, 2016 01:43 pm (UTC) - Expand
(no subject) - a_gorb - Feb. 13th, 2016 04:41 pm (UTC) - Expand
(no subject) - a_gorb - Feb. 13th, 2016 04:50 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 13th, 2016 09:18 pm (UTC) - Expand
(no subject) - a_gorb - Feb. 14th, 2016 03:08 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 14th, 2016 03:14 pm (UTC) - Expand
(no subject) - a_gorb - Feb. 14th, 2016 05:56 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 15th, 2016 01:10 am (UTC) - Expand
(no subject) - a_gorb - Feb. 15th, 2016 05:08 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 15th, 2016 10:58 pm (UTC) - Expand
(no subject) - a_gorb - Feb. 16th, 2016 07:18 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 17th, 2016 01:51 am (UTC) - Expand
(no subject) - a_gorb - Feb. 18th, 2016 05:44 am (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 19th, 2016 01:22 pm (UTC) - Expand
(no subject) - a_gorb - Feb. 21st, 2016 08:36 am (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 21st, 2016 01:51 pm (UTC) - Expand
(no subject) - a_gorb - Feb. 28th, 2016 01:30 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 28th, 2016 01:44 pm (UTC) - Expand
(no subject) - a_gorb - Feb. 28th, 2016 01:58 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 28th, 2016 02:15 pm (UTC) - Expand
(no subject) - a_gorb - Feb. 28th, 2016 02:59 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 28th, 2016 03:06 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 13th, 2016 03:10 pm (UTC) - Expand
(no subject) - a_gorb - Feb. 13th, 2016 04:50 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 13th, 2016 09:41 pm (UTC) - Expand
(no subject) - vls_smolich - Feb. 14th, 2016 03:07 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 16th, 2016 01:03 am (UTC) - Expand
(no subject) - a_gorb - Feb. 14th, 2016 03:13 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 14th, 2016 03:17 pm (UTC) - Expand
(no subject) - a_gorb - Feb. 14th, 2016 06:05 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 15th, 2016 12:48 am (UTC) - Expand
(no subject) - a_gorb - Feb. 15th, 2016 05:32 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 15th, 2016 11:33 pm (UTC) - Expand
(no subject) - a_gorb - Feb. 16th, 2016 07:41 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 17th, 2016 02:02 am (UTC) - Expand
(no subject) - a_gorb - Feb. 18th, 2016 05:45 am (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 15th, 2016 01:13 am (UTC) - Expand
(no subject) - a_gorb - Feb. 15th, 2016 05:44 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 16th, 2016 12:50 am (UTC) - Expand
vls_smolich
Feb. 14th, 2016 03:06 pm (UTC)
"А те, кто не считает науку адекватным способом познания, наверное, представляют себе ее как последовательность этих вырезных фигур с одинаковым периметром".

А может, они мыслят в метафорах совершенно другой геометрии?
Не тех, которые можно изобразить на плоскости. Кто его знает, сколько в мире существует измерений.
egovoru
Feb. 14th, 2016 03:08 pm (UTC)
"Кто его знает, сколько в мире существует измерений"

Струнная теория говорит - одиннадцать ;)
vls_smolich
Feb. 18th, 2016 04:13 pm (UTC)
Это пока она говорит, что одиннадцать.
А вот что она запоёт, когда мы на этих струнах заиграем... :)
almakedonskij
Feb. 20th, 2016 01:30 pm (UTC)
в конце рабочей 6-ти дневки, как-то совсем сконцентрироваться не совсем могу. Видимо гуманитарное образование дает тоже о себе знать. Но со спокойной головой и свежей надо еще раз прочесть )
egovoru
Feb. 20th, 2016 01:38 pm (UTC)
Специального математического образования тут, к счастью, не требуется - гуманитарного вполне хватит ;) Меня этот парадокс занимает с детства, но сама я его обнаружила не на окружности, а на отрезке - конкретно, гипотенузе.

Ясно, что путь по гипотенузе - короче пути по двум катетам. Но что, если мы, не дойдя до конца одного катета, а только, скажем, до его середины, свернем, под прямым же углом, в сторону гипотенузы, а потом продолжим путь паралельно другому катету?

То есть, будем идти зигзагообразным путем, который, за счет увеличения числа поворотов, можно сделать сколь угодно близким к гипотенузе (площадь, ограниченная этим новым путем и ею, будет стремиться к нулю)? Парадокс заключается в том, что, хотя эта площадь и будет бесконечно уменьшаться по мере роста числа звеньев пути, его длина будет всегда оставаться равной сумме длин катетов. По-моему, это страшно забавно, а?
almakedonskij
Feb. 20th, 2016 02:41 pm (UTC)
забавно. но если все же следовать слову "реальность", то процесс познания все равно не будет приближаться к кругу. Закон Мура в действии тут и относительно знаний )) и уж точно за пределы не выйдет )
(no subject) - egovoru - Feb. 20th, 2016 03:00 pm (UTC) - Expand
( 58 comments — Leave a comment )