Я тоскую, как странник по дому, по наивной системе Эвклида

«Начала» произвели неизгладимое впечатление на европейцев Нового времени, вызвав желание перестроить по их образцу даже философию: «Этика» Спинозы – яркое тому свидетельство. Парадоксальным образом в самой математике, бурно развивавшейся с 17-го века, настроения были совсем другие: даже величайшие умы довольствовались рассуждениями по аналогии и апелляцией к метафизике. Моррис Клайн пишет, что в математике «век Разума» порядочно запоздал.

Формализация остальных разделов началась с анализа – области, где попадаются такие конфузные объекты, как непрерывные, но недифференцируемые функции или ряды типа 1-1+1-1+1… (Клайн рассказывает о баталиях по поводу его суммы: равна ли она 1, 0 или ½?). Возникло ощущение, что на столь зыбкой почве опасно полагаться на одну интуицию.

А тем временем и в самóм священном Граале обнаружились изъяны. Эвклид не учел того, что понимал Аристотель и до чего я додумалась самостоятельно: имея конечный запас слов, невозможно дать определение всем терминам, потому что рано или поздно придешь к порочному кругу. Это значит, что любая фомальная система должна включать неопределенные понятия, отвечающие единственному требованию: удовлетворение аксиомам. А раз так, то может существовать несколько совокупностей математических объектов разной природы, удовлетворяющих одному и тому же набору аксиом. Вот эти-то совокупности и называют в математике «моделями».

Первое печатное издание «Начал» Эвклида (1482)
(фото World Digital Library)
Вот, оказывается, как выглядела знакомая нам «колонка»,
обозначающая в Ворде конец параграфа (здесь – предложения)!