egovoru (egovoru) wrote,
egovoru
egovoru

Category:

Там бесконечность – только миг

Среди всех чисел самые интересные – действительные. Имея единицу и правила арифметики, можно получить все рациональные числа, а добавив минус единицу и мнимую единицу – все соответствующие отрицательные и комплексные. Другое дело – число π: никакие манипуляции с единицами любого сорта тут не помогут! Каждое действительное число – уникально, недаром древние так их боялись. Когда Кантор продемонстрировал, что действительных чисел в некотором роде «больше», чем натуральных, это стало едва ли не самым значительным достижением во всей математике – по крайней мере, из тех, смысл которых легко понять простому смертному :)


Кантор построил и трансфинитную «лестницу бесконечностей» – придумал способ, как из любого бесконечного множества соорудить множество «еще более» бесконечное. Сломался он на попытках выяснить, является ли континуум – множество действительных чисел – ступенькой этой лестницы, следующей сразу за множеством натуральных чисел, или там есть что-то еще в промежутке? Гильберт считал эту проблему – известную как «гипотеза континуума» – настолько важной, что присвоил ей почетный номер один в своем списке. Гедель выяснил, что наличие промежуточного множества нельзя доказать в стандартной ZFC-аксиоматике, a через двадцать лет Пол Коэн установил, что нельзя доказать и его отсутствие.

Математиков такая ситуация не устраивает, но, похоже, они не могут договориться, как же быть. Ясно, что нужно принять какую-то дополнительную аксиому, но вот вопрос, что она должна утверждать: что такое промежуточное множество есть или что его нет? Как я поняла, дилемма в конце концов сводится к тому, разрешается ли строить бесконечности только канторовским способом (и тогда гипотеза континуума верна, промежуточной ступени нет) или еще и другим, более либеральным (и тогда она неверна). Первый вариант вроде бы должен повлиять только на саму теорию множеств, а вот второй возымеет далеко идущие последствия и для других разделов математики.


Немного найдется математических формул, настолько популярных, что стали надписями на футболках, но гипотеза континуума – среди них: предлагаю вашему вниманию John Carlos Baez Continuum Hypothesis Shirt :)

Tags: бесконечность
Subscribe

Posts from This Journal “бесконечность” Tag

  • Все дни направляются случаем

    Мало какая научная гипотеза до сих пор встречает такое сопротивление публики, как дарвиновская теория эволюции. Подозреваю, отпор вызывает даже не…

  • И твой, бесконечность, учебник

    Страх древних перед «актуальной» бесконечностью, которая пугала их больше, чем «потенциальная», для меня загадка. А уж Кантор, мне казалось,…

  • Порвались струны моей гитары

    Меня давно занимало, а как вообще физики додумались до каких-то струн? Ответ есть в книжке Ли Смолина: первым толчком послужил вопрос, а что, если…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 246 comments

Posts from This Journal “бесконечность” Tag

  • Все дни направляются случаем

    Мало какая научная гипотеза до сих пор встречает такое сопротивление публики, как дарвиновская теория эволюции. Подозреваю, отпор вызывает даже не…

  • И твой, бесконечность, учебник

    Страх древних перед «актуальной» бесконечностью, которая пугала их больше, чем «потенциальная», для меня загадка. А уж Кантор, мне казалось,…

  • Порвались струны моей гитары

    Меня давно занимало, а как вообще физики додумались до каких-то струн? Ответ есть в книжке Ли Смолина: первым толчком послужил вопрос, а что, если…