Там бесконечность – только миг

Среди всех чисел самые интересные – действительные. Имея единицу и правила арифметики, можно получить все рациональные числа, а добавив минус единицу и мнимую единицу – все соответствующие отрицательные и комплексные. Другое дело – число π: никакие манипуляции с единицами любого сорта тут не помогут! Каждое действительное число – уникально, недаром древние так их боялись. Когда Кантор продемонстрировал, что действительных чисел в некотором роде «больше», чем натуральных, это стало едва ли не самым значительным достижением во всей математике – по крайней мере, из тех, смысл которых легко понять простому смертному :)

Кантор построил и трансфинитную «лестницу бесконечностей» – придумал способ, как из любого бесконечного множества соорудить множество «еще более» бесконечное. Сломался он на попытках выяснить, является ли континуум – множество действительных чисел – ступенькой этой лестницы, следующей сразу за множеством натуральных чисел, или там есть что-то еще в промежутке? Гильберт считал эту проблему – известную как «гипотеза континуума» – настолько важной, что присвоил ей почетный номер один в своем списке. Гедель выяснил, что наличие промежуточного множества нельзя доказать в стандартной ZFC-аксиоматике, a через двадцать лет Пол Коэн установил, что нельзя доказать и его отсутствие.

Математиков такая ситуация не устраивает, но, похоже, они не могут договориться, как же быть. Ясно, что нужно принять какую-то дополнительную аксиому, но вот вопрос, что она должна утверждать: что такое промежуточное множество есть или что его нет? Как я поняла, дилемма в конце концов сводится к тому, разрешается ли строить бесконечности только канторовским способом (и тогда гипотеза континуума верна, промежуточной ступени нет) или еще и другим, более либеральным (и тогда она неверна). Первый вариант вроде бы должен повлиять только на саму теорию множеств, а вот второй возымеет далеко идущие последствия и для других разделов математики.

Немного найдется математических формул, настолько популярных, что стали надписями на футболках, но гипотеза континуума – среди них: предлагаю вашему вниманию John Carlos Baez Continuum Hypothesis Shirt :)