Наверное, не приходится удивляться, что Дуглас Хофштадтер, будучи математиком по образованию, уже вторую свою книжку посвящает теореме Геделя.
Аллегория математики. Керамическое панно в саду дворца Монте (Мадейра)
(фото отсюда)
Хофштадтер пишет, что со времен Эвклида авторитет математики основывался на вере в то, что можно создать такую систему аксиом и правил дедукции, что:
1) Каждое доказанное с ее помощью (т.е., выведенное из ее аксиом посредством ее правил дедукции) утверждение будет верным;
2) Каждое верное утверждение может быть доказано с ее помощью.
Достижение Геделя состоит в том, что он показал, что второе условие не может быть выполнено для всех дедуктивных систем, включающих арифметику. Но меня заинтересовали сами эти условия. Ведь они ясно показывают, что мы рассчитываем на некий независимый критерий верности утверждений, помимо их сводимости к аксиомам и подчинения правилам логики. Но что это за критерий, как не здравый смысл – иными словами, обобщение нашего практического опыта? Не говоря уже о том, что ведь и сам выбор аксиом, а также формулировка правил дедукции основаны все на том же опыте. Так что, шаткость – или, лучше сказать, способность к эволюции? – математической конструкции была очевидна и до Геделя.
Галилей, с его законами природы, написанными на языке математики, был все-таки неправ. Математика – не язык природы, а наш язык, при помощи которого мы пытаемся описывать природу ;)
Но отзвуки этого галиеевского (пифагорейского?) представления о математике ощущаются и сейчас – например, когда теорему Геделя приводят как аргумент в пользу непознаваемости мира, хотя к миру она не имеет никакого отношения.
(фото отсюда)
Posts from This Journal by “математика” Tag
-
И если я чувствую кванты нутром
Судя по недавней статье Михаила Дьяконова, разработка квантовых компьютеров уверенно движется в том же направлении, что и изучение суперструн:…
-
Ты право, пьяное чудовище
По моему разумению, математика знает только два вида истины. Первый – это аксиомы, то есть, утверждения, принятые за истину чисто условно, по…
-
Потому-то, словно пена, опадают наши рифмы
Рассуждая о познавательной ценности математики, Юрий Манин выделяет три способа ее использования: как модель, как теорию и как метафору.…
Comments
По первой теореме Гёделя, всегда существует утверждение, такое, что ни оно само, ни его отрицание не выводится из системы аксиом.
По второй теореме, непротиворечивость системы аксиом недоказуема в рамках самой системы.
Возможно, это согласуется с тем, что Вы пишете, просто хотелось уточнить.
Действительно, это был бы самый безопасный путь: просто определить истину как то, что выводится из аксиом по правилам логики. И в наш релятивистский век некоторые (например, Бруно Латур) так и поступают, утверждая, что не то что математические, но и естественно-научные истины - вовсе не истины, а коллективно принятые нами условности ;)
Но Рассел с Уайтхедом - а ведь именно их систему и взялся анализировать Гедель - были люди предыдущего поколения, и их заботила адекватность математики как способа описания действительности. Так, во всяком случае, получается в изложении Хофштадтера - собственно трехтомную "Principia Mathematica" я едва бы осилила :)
"По первой теореме Гёделя, всегда существует утверждение, такое, что ни оно само, ни его отрицание не выводится из системы аксиом".
Насколько я понимаю, здесь существенно, что речь идет не просто об "утверждении" как таковом, а именно об утверждении истинном. Невыводимость ложного утверждения никого бы не смутила ;)
Формальные замечания.
”Каждое доказанное с ее помощью (т.е., выведенное из ее аксиом посредством ее правил дедукции) утверждение будет верным;”
Тут у вас просто масло масляное. Выведенное из аксиом по правилам и означает верное. Другого смысла термину «верное» тут просто нет.
” Каждое верное утверждение может быть доказано с ее помощью.
Достижение Геделя состоит в том, что он показал, что второе условие не может быть выполнено для всех сколько-нибудь нетривиальных дедуктивных систем.”
Не совсем так. Гедель показал, что существуют утверждения которые нельзя доказать и опровергнуть в данной системе аксиом.
По сути.
Математика и есть набор дедуктивных систем. Причем совершенно неважно о чем из природы говорят эти системы. Как утверждал Гильберт: Справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины "точка, прямая, плоскость" другими, столь же условными: "стул, стол, пивная кружка"! Т.е. под математические термины можно подставить все что угодно из действительности.
Т.е. в этом смысле это действительно «наш язык, при помощи которого мы пытаемся описывать природу».
С другой стороны, а вам известны примеры из действительности, когда нечто удовлетворяет аксиомам, но не удовлетворяет их логическим следствиям? Мне нет. А если нет, то получается какая-то мистическая принудительность такого дедуктивного вывода, такая, что природа подчиняется нашим правилам логики. Т.е. получается, что дедуктивные системы (или другими словами математика) есть закон для природы, который она не смеет нарушить.
Нет, по Хофштадтеру получается не так. Он описывает предприятие Рассела и Уайтхеда как попытку создать такую систему аксиом и правил дедукции, чтобы с ее помощью можно было вывести все истинные математические утверждения. Из чего следует, что совокупность этих утверждений уже существовала еще до того, как такая система была разработана - не говоря уже о том, что, как показал Гедель, создать такую систему вообще невозможно.
"Гедель показал, что существуют утверждения которые нельзя доказать и опровергнуть в данной системе аксиом."
Да, но не просто "утверждения", а именно верные утверждения. Собственно, как раз теорема Геделя и похоронила окончательно надежду на то, что выводимость из системы аксиом и истинность - это одно и то же.
"дедуктивные системы (или другими словами математика) есть закон для природы, который она не смеет нарушить"
Просто математика, в конечном счете, тоже - дитя природы, в том смысле, что мы все же не совсем произвольно ее придумываем, а опираемся и на свойства мира и свойства собственного мозга, который тоже - часть этой самой природы ;)
Edited at 2014-10-04 01:17 am (UTC)
Про это, то есть выполнимость упомянутого выше условия один, Хофштадтер пишет так: на сегодняшний день в системе Рассела и Уайтхеда такого не найдено, т.е., она (а с ней и математика, как таковая?) таки считается непротиворечивой (consistent).
"Выведенное из аксиом по правилам и означает верное".
Еще раз об этом. С одной стороны, так и есть, "математическая истина" - это то, что математически доказано, т.е., выведено из неких ранее уже доказанных истин. Но, если мы продолжим эту цепочку истин вниз, то обязательно упремся в нечто, принятое без доказательства, причем, надо полагать, иногда не слишком четко оговоренное (во всяком случае, в теории чисел, которой и занимались и Рассел с Уайтхедом, и Гедель). Вот Р. и У. и предприняли попытку упорядочить все это "принятое без доказательства", а Г. показал, что это невозможно - всегда останутся "дыры". Что, конечно, неочевидно на первый взгляд.
Но, как я уже написала, сам факт необходимости принятия чего-то без доказательств уже должен настораживать, удерживать от эйфории - хотя мы и не можем без такого принятия обойтись.
Разве? По-моему, с точностью до наоборот: дедукция позволяет из малого числа утверждений (аксиом, или, как Хофштадтер их называет, семян) вырастить неопределенно-большое число новых истин; аналогия с бесконечно-ветвистым деревом здесь действительно вполне уместна.
Соответственно, и ценность дедукции заключается именно в том, что с ее помощью можно быстро приумножать знание.
А "сжатие" информации - это как раз индукция: длинные таблицы Тихо Браге превращаются в коротенькие законы Кеплера и т.п.
"Гедель показал "шаткость", а точнее ограниченность дедуктивного подхода"
Мне-то кажется, что ограниченность дедуктивного подхода была ясна и до Геделя - она вытекает из самой необходимости иметь аксиомы в качестве затравки, а также правила вывода следствий. Соответственно, эти аксиомы и правила надо же откуда-то взять, и это сразу вызывает множество вопросов. Та характеристика, которую иногда дают компьютеру - "что посеешь, то и пожнешь", в том смысле, что результат его работы будет зависеть от тех исходных данных, которые мы в него заложим - хорошо иллюстрирует достоинства и недостатки любой дедуктивной системы, частным примером которой комп и является.
Самая известная иллюстрация этой проблемы - конечно, геометрия Лобачевского, но, на мой взгляд, следует помнить о сугубой ненадежности и других "самоочевидных" истин, а не только пятого постулата.
Что же касается свободы воли, то, мне кажется, проблема здесь в том, что ее наличие в принципе нельзя проверить экспериментально - просто потому, что нельзя дважды войти в одну реку. Если я утверждаю, что, вместо того, чтобы взять с подноса пирожное, я, если захотела, могла бы взять яблоко - как это проверить? Ведь пленку нельзя открутить назад, а новая ситуация будет только аналогичной, но не идентичной.
Edited at 2014-10-04 12:51 am (UTC)
Кстати сказать, оказывается, Макс Тегмарк выступал с критикой пенроузовской идеи насчет сознания как квантового процесса. Его аргумент - что характерные времена работы нейронов на порядки превосходят квантовую шкалу.
В своем посте Вы
- рассказали о 1-й теореме Геделя;
- признали, что математика - "язык, при помощи которого мы пытаемся описывать природу".
А в качестве итога однозначно выразили свое несогласие с мнением, что теорема Геделя - аргумент в пользу непознаваемости мира.
Поскольку в своем ответе мне от 14.09 Вы сказали, что курс диамата был для Вас не более чем "необходимым злом", то я обращаю Ваше внимание на факт: пост представляет собой вольное изложение соответствующей темы в курсе диамата.
В этом нетрудно убедиться, просмотрев тексты советских философов (прежде всего, конечно, предназначенные для студентов). В них речь всегда шла о 1-й теореме, которая, мол, позволяет опровергать "идеалистические домыслы" о независимости математики от физического опыта (Вы пишите о том же, употребляя выражение "практический опыт"). А вот о 2-й теореме, как правило, ничего не говорилось. Хотя как раз она отчетливо указывает на ограниченность научной познаваемости мира.
Дело в том, что, по Геделю, непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть доказана средствами этой теории. Требуется другая, более мощная теория. Но тогда встает вопрос о непротиворечивости второй теории и т.д. В итоге получается, что если мы построим "теорию всего" (а ею, между прочим, является тот же диамат), то в непротиворечивость и, следовательно, истинность полученного научного результата мы можем только верить.
Конечно, Гедель доказывал теорему для формальных теорий, но разница между формальной теорией (с учетом интерпретации) и естественнонаучной - это разница между идеалом и практическим приближением к нему. А не разумно ли полагать, что недостижимое в идеале тем паче недостижимо на практике?
К чему я клоню? Налицо очередное проявление Вами приверженности внушенной с младых лет философии. В связи с этим скажите, пожалуйста, как Вам кажется: в этих нескончаемых разговорах на философские темы проявляется Ваше желание освободиться от привычного мировоззрения или, наоборот, укрепиться в нем?
Простите, я что-то несколько запуталась ;) Кто говорит о том, что математика не зависит от физического опыта? Я-то вовсе так не считаю: я думаю, что выбор и аксиом, и правил дедукции определяется нашим физическим опытом и устройством нашего мозга, а без аксиом и правил не бывает и математики.
"по Геделю, непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть доказана средствами этой теории"
Мне кажется, говоря о теореме Г., следует все же придерживаться его терминологии: у него речь идет не о теории, а о формальной системе высказываний. Теория - понятие слишком обтекаемое, неоднозначное; употребляя его, легко запутаться.
"разница между формальной теорией (с учетом интерпретации) и естественнонаучной - это разница между идеалом и практическим приближением к нему"
На мой взгляд, разница здесь более кардинальная. Формальная система - замкнутая; все ее выводы, в принципе, уже содержатся в ее аксиомах и правилах дедукции. (Там выше мы подробно обсуждаем с уважаемым re_xor, в каком именно смысле надо понимать эту замкнутость). Внутри формальной системы можно, например, говорить об абсолютно истинных высказываниях - это такие, которые выводятся из ее аксиом по ее правилам.
Естествознание же - система принципиально открытая. В нем вообще не может быть абсолютных истин; любая истина в нем истинна только до тех пор, пока не обнаружены противоречащие ей факты - которые могут открыться в любой момент. Потому-то теорема Геделя к естествознанию и не применима, что оно - не формальная система.
"в этих нескончаемых разговорах на философские темы"
Я бы и рада обсудить какой-нибудь роман или фильм, но, когда я изредка пишу здесь о чем-нибудь подобном, оказывается, это никому не интересно :( А вот "вечные" философские проблемы, наоборот, вызывают оживление среди читателей, которое, в свою очередь, стимулирует меня на помещение новых текстов. Так что происходит естественный отбор обсуждаемых тем - хотя я все равно стараюсь их разнообразить, держа за образец отдел "Смесь" в некогда знаменитой "Ниве" ;)
во-первых просто потому что знаний не хватает, а во-вторых многие утверждения тут, на мой вкус, очень туманные.
Гедель имел дело с формальными системами, применять его выводы к нашему с вами бытию, на мой вкус, нет смысла.
как пример, вы пишете "Математика – не язык природы, а наш язык, при помощи которого мы пытаемся описывать природу" - тут все вызывает сомнение. а мы - не часть природы? и кто сказал, что математика – не язык природы, вы? а если я скажу "Математика - язык природы"? Об одном этом можно спорить бесконечно. Впустую.
как и о том, что есть истина. теорема Геделя имеет дело с истиной в очень узком, формальном смысле. когда мы с вами говорим "истина", мы имеем в виду что-то совсем другое. очень туманное :)
я вспомнил теорему Геделя в той, другой ветке, именно для этого, как пример, в смысле "даже": даже арифметика... а уж...
Вот именно! А между тем, мне часто встречается утверждение, что, дескать, из теоремы Геделя вытекает непознаваемость мира :) Собственно, этот пост и написан, чтобы объяснить нелепость этого утверждения.
"тут все вызывает сомнение. а мы - не часть природы? и кто сказал, что математика – не язык природы, вы?"
Утверждение "математика - язык природы" подразумевает объективное (то есть, независимое от нашего сознания) существование математических закономерностей. Мне лично теорема Пифагора, записанная где-то на седьмом облаке, представляется абсурдом. Но есть множество людей, особенно среди математиков, которые придерживаются именно этой точки зрения, и меня это занимает - если хотите, как пример разнообразия устройства человеческих мозгов :) А спорить тут, конечно, бессмысленно.
"теорема Геделя имеет дело с истиной в очень узком, формальном смысле"
Мне казалось, что в математике истина определена очень строго: истинно то, что выводится из аксиом согласно заранее оговоренным правилам. Поэтому та формулировка теоремы Геделя, которую я прочла у Хофштадтера, поставила меня в тупик: существуют истинные положения, которые нельзя доказать в рамках данной формальной системы, если она полна (и включает арифметику). Но мне объяснили, что на самом деле стандартная формулировка звучит несколько иначе: существуют положения, истинность которых нельзя ни доказать, ни опровергнуть. А это уже вполне согласуется с тем пониманием математической истины, которую я упомянула выше.
> в рамках формальной системы, если она полна
мне эта формулировка кажется вполне осмысленной. в формальной системе можно сформулировать множество предложений. часть из них - верные, часть - нет. а еще есть те, про которые нельзя сказать ни того, ни другого, оставаясь в рамках этой системы. так мне кажется :)
> Мне лично теорема Пифагора, записанная где-то на
> седьмом облаке, представляется абсурдом.
что же в ней абсурдного господибожемой? :)))
> из теоремы Геделя вытекает непознаваемость мира
я так не считаю, мне кажется непознаваемость мира очевидна без всякой теоремы :) непознаваемость не в вульгарном смысле, а в том, что истина (вне математики) - человеческая выдумка.
нельзя распространять математические понятия на человеческие дела, мне казжется. большинство проблем происходит от неправильного использования языка, говорил, помнится, Витгенштейн. и я с ним согласен :)
мир познаваем, мне кажется, в том смысле, в каком его считают познаваемым марксисты. в смысле бесконечного процесса построения все более точной картины мира. когда же речь идет об интерпретации этой картины, о любом обсуждении - тут познаваемость кончается, и начинаются всякие копенгагенские интерпретации.
опять же, я хорошо понимаю, что на все, что я тут говорю, можно найти возражения. особенно учитывая, что мои знания очень поверхностные.
А что такое математически верное утверждение, если его истинность еще не доказана (т.е., не выведена из аксиом)?
"непознаваемость мира очевидна без всякой теоремы"
Наверное, тут существенно сначала определить, что именно мы согласны называть познаваемостью мира. Если мы договоримся считать познаваемостью мира нашу способность строить такие модели мира, при помощи которых мы можем правильно предсказывать его поведение, то мир следует счесть познаваемым. Но совпадут ли на каком-то этапе наши модели с самим миром? Нет, потому что даже самая точная карта - это все же не местность. В этом смысле мир непознаваем :)
Заметьте, что у тех, кто верит в теорему Пифагора на седьмом облаке, ответ на последний вопрос о карте и местности - положительный. Иными словами, они верят, что местность, в самой своей основе - это и есть карта, которую мы можем досконально изучить, "дойти до самой сути". Это, в сущности, возврат к утверждению Пифагора, что в основе мира лежит число. И этому возврату весьма способствовало изобретение и распространение компьютеров.
"нельзя распространять математические понятия на человеческие дела"
Я бы сказала, делать это надо умеючи. Помните принцип GIGO? "Garbage in - garbage out" :)