?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Георг Кантор был первым, кто осознал, что бесконечности тоже бывают разного «размера». Самая «маленькая», фундаментальная бесконечность – множество натуральных чисел. А вот множество всех подмножеств этого множества представляет собой уже следующую ступень: его элементы нельзя пересчитать – поставить в однозначное соответствие числам натурального ряда. Переходя к множеству подмножеств снова и снова, мы поднимаемся по бесконечной лестнице бесконечностей.


Кантор верил, что действительные числа – от Бога, и, похоже, именно эта вера и свела его сначала с ума, а потом в могилу. Он доказал, что совокупность действительных чисел – континуум – превышает по своей мощности множество натуральных. Но где именно она располагается в иерархии бесконечностей, какую ступень занимает?

Кантор попеременно то почти доказывал, то почти исключал, что вторую – но так и не смог придти к окончательному выводу. Неудивительно: через полвека после его смерти Пол Коэн установит неразрешимость этой задачи в системе принятых аксиом – и получит Филдсовскую премию. А Кантор, с его верой в божественное происхождение чисел, наверное, просто не мог допустить подобной несуразности.

Автор книжки, излагающей эту историю, тоже пытается отстаивать объективное существование чисел. Аргументирует он от противного: если бы числа были просто нашим изобретением, то все их свойства были бы нам уже заранее известны; на деле же мы постоянно открываем что-то новое. Похоже, он совсем забыл ожившего монстра доктора Франкенштейна :)


Девиз Кантора, высеченный на памятнике ему в Халле: «Свобода – вот сущность математики» (фото с сайта Halle im Bild). А формула – математическая запись утверждения, что континуум располагается на второй ступеньке лестницы бесконечностей.

Спасибо уважаемому evgeniirudnyi за наводку на книжку.

Posts from This Journal by “бесконечность” Tag

Comments

( 69 comments — Leave a comment )
joint_joint
Feb. 20th, 2016 05:18 am (UTC)
>>еcли бы числа не существовали объективно, а были бы просто нашим изобретением, то все их свойства были бы нам уже заведомо известны

если бы мы перестали шагать, мы бы уже давно стояли на месте...

числа существуют объективно и являются нашим изобретением,
если процесс соотнесения различных объектов не останавливать, свойства не будут конечными.

egovoru
Feb. 20th, 2016 05:25 am (UTC)
Боюсь, я не совсем поняла Вашу мысль :( Моя состояла в том, что представление об объективно существующих числах (и вообще математических объектах) может тормозить процесс развития математики :(

Впрочем, неверие может тормозить его еще больше: вот Кронекер не верил в существование действительных чисел и сделал все возможное, чтобы отравить существование Кантора :(
(no subject) - joint_joint - Feb. 20th, 2016 06:02 am (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 20th, 2016 06:27 am (UTC) - Expand
skichmana
Feb. 20th, 2016 08:06 am (UTC)
А вот человек сначала придумал, а потом и создал что-то. Например, атомную бомбу. И он её придумал с каким-то заложенным в неё им свойством. А многие свойства её остались человеку неизвестными. Не так ли и с числами?
egovoru
Feb. 20th, 2016 01:29 pm (UTC)
Да, именно так. Предположение автора, что таким способом можно разрешить сложную философскую проблему о природе чисел, очень наивны ;) Впрочем, он и не претендует на философскую глубину - он рассказывает историю понятия "бесконечность" в математике, и рассказывает интересно.

Например, он пишет, что лестница бесконечностей Кантора - может быть, еще не все. Возможно, существует еще бесконечное число классов бесконечностей, каждый из которых так же отделен от класса канторовских бесконечностей, как они сами - от конечных чисел (в том смысле, что никакими математическими операциями над конечными числами нельзя получить бесконечность).

Такую штуку придумал Гедель (автор знаменитых теорем о неполноте), но никто пока не доказал это наверняка.
hyperboreus
Feb. 20th, 2016 11:22 am (UTC)
Числа, конечно же, существуют интерсубъективно. Впрочем, как и почти все остальное...
egovoru
Feb. 20th, 2016 01:19 pm (UTC)
А что такое "интерсубъективно"?

Печально, что столь абстрактная проблема, как существование чисел, могла привести к такой беспощадной вражде, какую питал к Кантору его учитель, Леопольд Кронекер :(

Впрочем, это еще не самая ужасная вражда, поводом к которой послужило расхождение в абстракных идеях - просто от математиков ожидаешь больше ума ;) Кантор-то был несомненный гений, но и Кронекер, как пишет автор книжки, внес значительный вклад в некоторые области математики (но не в анализ, которого не признавал).

Edited at 2016-02-20 03:20 pm (UTC)
(no subject) - hyperboreus - Feb. 20th, 2016 05:28 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 20th, 2016 05:46 pm (UTC) - Expand
(no subject) - hyperboreus - Feb. 21st, 2016 11:10 am (UTC) - Expand
napoli
Feb. 20th, 2016 02:16 pm (UTC)
Как можно с т.з. чисел объяснить следующие явления?

У неконтактного племени pirahã отсутствие развитой торговли и культуры запасать провизию обусловило отсутствие счёта. Больше 3 они не считают, да и сами эти три числительных обозначают не индивидуальные предметы, а что-то типа групп предметов, состоящих из разного количества предметов по ситуации или по субъективному взгляду говорящего.

Также в одной книге по египетской мифологии я встретила рассуждения о нумерологии, где говорилось об 11 богах, причём 11 раскладывалось на 10 и 5. 10 были отдельными "штуками", а 5 богов, хоть и тоже будучи отдельными, считались одной группой и к первым 10 прибавлялись как 1.
egovoru
Feb. 20th, 2016 02:26 pm (UTC)
Однажды я слышала доклад исследовательницы, изучающей нашу способность к оперированию числами. Оказывается, у нас существует две разных нейрофизиологических системы: одна задействована в именно счете, как таковом, но ее "буферная емкость" доходит только до 4 (т.е., мы можем с ее помощью различить один, два, три и четыре, а все остальное попадает в категорию "много"), а другая система позволяет нам различать мощности совокупностей предметов - иными словами, отличать "много" от "мало", но без точного подсчета числа элементов.

Так вот, из данных экспериментов следовало, что каждая из этих систем, по отдельности, есть также и у некоторых высших животных, но только у человека они наличествуют обе, и это и позволило нам создать математику.

К сожалению, я не запомнила имени докладчика (это было на большой конференции, где я была по профессиональному делу, а эта тема была для меня совершенно посторонней), и, когда я потом попробовала найти ее работы, то не смогла - так что я не могу поручиться за точность деталей. Но факт, что этими вещами активно занимаются, и это, конечно, страшно интересная область.

Edited at 2016-02-20 03:06 pm (UTC)
evgeniirudnyi
Feb. 20th, 2016 02:30 pm (UTC)
Я рад, что вам понравилось.

Что, касается платонизма, то по-моему это частный случай вечного спрора об универсалиях: номинализм vs. реализм.
egovoru
Feb. 20th, 2016 02:55 pm (UTC)
Да, книжка мне показалась довольно удачной: автору, повествующему об очень абстрактных вещах, удалось написать занятно и не запугать читателя ;)

Правда, некоторые места, по-моему, требуют все-таки более подробных пояснений, в частности: откуда взялось, что вероятность того, что, выбрав на прямой континуума произвольную точку, мы попадем на рациональное число, равна нулю? Понятно, что это следует именно из разной мощности множеств действительных и рациональных чисел, но как формально вычисляют вероятности в этом случае, я не знаю.
И несколько других доказательств, о которых автор даже и рассказывает несколько подробнее, я тоже не совсем поняла, но удовольствие от чтения это мне не испортило ;)

А из вещей, не относящихся непосредственно к математике, меня поразил факт путешествия Геделя с женой по Транссибу в 1939 году (или это была уже зима 40-го?) - вовремя они успели!

Edited at 2016-02-20 03:08 pm (UTC)
(no subject) - evgeniirudnyi - Feb. 20th, 2016 05:11 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 20th, 2016 05:45 pm (UTC) - Expand
(no subject) - evgeniirudnyi - Feb. 20th, 2016 06:57 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 20th, 2016 07:12 pm (UTC) - Expand
(no subject) - evgeniirudnyi - Feb. 20th, 2016 07:17 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 20th, 2016 07:20 pm (UTC) - Expand
(no subject) - rock_25 - Feb. 22nd, 2016 02:58 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 23rd, 2016 12:08 am (UTC) - Expand
(no subject) - rock_25 - Feb. 23rd, 2016 07:39 am (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 23rd, 2016 01:27 pm (UTC) - Expand
(no subject) - rock_25 - Feb. 23rd, 2016 02:38 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 24th, 2016 12:31 am (UTC) - Expand
(no subject) - rock_25 - Feb. 24th, 2016 04:46 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 24th, 2016 03:41 am (UTC) - Expand
(no subject) - rock_25 - Feb. 24th, 2016 05:13 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 25th, 2016 01:54 pm (UTC) - Expand
(no subject) - rock_25 - Feb. 22nd, 2016 03:10 pm (UTC) - Expand
(no subject) - evgeniirudnyi - Feb. 22nd, 2016 06:12 pm (UTC) - Expand
(no subject) - rock_25 - Feb. 22nd, 2016 07:41 pm (UTC) - Expand
(no subject) - evgeniirudnyi - Feb. 22nd, 2016 08:29 pm (UTC) - Expand
(no subject) - rock_25 - Feb. 23rd, 2016 08:01 am (UTC) - Expand
(no subject) - evgeniirudnyi - Feb. 23rd, 2016 06:14 pm (UTC) - Expand
(no subject) - rock_25 - Feb. 23rd, 2016 11:56 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 23rd, 2016 12:13 am (UTC) - Expand
(no subject) - rock_25 - Feb. 23rd, 2016 09:45 am (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 23rd, 2016 01:43 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 28th, 2016 11:06 pm (UTC) - Expand
(no subject) - rock_25 - Feb. 28th, 2016 11:39 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 29th, 2016 12:58 pm (UTC) - Expand
(no subject) - rock_25 - Mar. 2nd, 2016 07:02 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Mar. 3rd, 2016 11:33 am (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 20th, 2016 03:03 pm (UTC) - Expand
(no subject) - evgeniirudnyi - Feb. 20th, 2016 05:08 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 20th, 2016 05:41 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 20th, 2016 06:23 pm (UTC) - Expand
(no subject) - evgeniirudnyi - Feb. 20th, 2016 07:01 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 20th, 2016 07:18 pm (UTC) - Expand
(no subject) - rock_25 - Feb. 22nd, 2016 09:48 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 23rd, 2016 12:30 am (UTC) - Expand
(no subject) - rock_25 - Feb. 23rd, 2016 08:53 am (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 23rd, 2016 01:34 pm (UTC) - Expand
(no subject) - benni72 - Feb. 28th, 2016 03:57 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 28th, 2016 07:44 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 20th, 2016 07:27 pm (UTC) - Expand
(no subject) - evgeniirudnyi - Feb. 20th, 2016 07:40 pm (UTC) - Expand
(no subject) - egovoru - Feb. 20th, 2016 07:43 pm (UTC) - Expand
piterburg
Feb. 22nd, 2016 10:03 pm (UTC)
"To see a World in a Grain of Sand
And a Heaven in a Wild Flower
Hold Infinity in the palm of your hand
And Eternity in an hour.."
egovoru
Feb. 23rd, 2016 12:37 am (UTC)
"He who bends to himself a joy
Does the winged life destroy;
But he who kisses the joy as it flies
Lives in eternity's sunrise."

Блейк определенно знал толк в предмете ;)
(Deleted comment)
egovoru
Dec. 25th, 2016 02:38 pm (UTC)
Re: РЕШЕНИЕ ПАРАДОКСОВ:
Не поняла связи Вашего комментария с текстом поста :(
(Deleted comment)
egovoru
Dec. 25th, 2016 03:48 pm (UTC)
Материи это сложные, так что слишком уж длинные скачки мысли отслеживать трудно. Понятие бесконечности меня весьма занимает, и я бы охотно обсудила его с Вами, но, боюсь, чтобы я поняла, что Вы хотите сказать, я бы попросила Вас сформулировать свою мысль как-то более доходчиво :)
(Deleted comment)
(no subject) - egovoru - Dec. 25th, 2016 04:09 pm (UTC) - Expand
(Deleted comment)
(no subject) - egovoru - Dec. 25th, 2016 04:30 pm (UTC) - Expand
(Deleted comment)
egovoru
Dec. 25th, 2016 05:07 pm (UTC)
Ой, это для меня как-то уж слишком сложно :(
(Deleted comment)
egovoru
Dec. 30th, 2016 11:00 pm (UTC)
Спасибо, и Вам того же!
( 69 comments — Leave a comment )