Георг Кантор был первым, кто осознал, что бесконечности тоже бывают разного «размера». Самая «маленькая», фундаментальная бесконечность – множество натуральных чисел. А вот множество всех подмножеств этого множества представляет собой уже следующую ступень: его элементы нельзя пересчитать – поставить в однозначное соответствие числам натурального ряда. Переходя к множеству подмножеств снова и снова, мы поднимаемся по бесконечной лестнице бесконечностей.
Девиз Кантора, высеченный на памятнике ему в Халле: «Свобода – вот сущность математики» (фото с сайта Halle im Bild). А формула – математическая запись утверждения, что континуум располагается на второй ступеньке лестницы бесконечностей.
Кантор верил, что действительные числа – от Бога, и, похоже, именно эта вера и свела его сначала с ума, а потом в могилу. Он доказал, что совокупность действительных чисел – континуум – превышает по своей мощности множество натуральных. Но где именно она располагается в иерархии бесконечностей, какую ступень занимает?
Кантор попеременно то почти доказывал, то почти исключал, что вторую – но так и не смог придти к окончательному выводу. Неудивительно: через полвека после его смерти Пол Коэн установит неразрешимость этой задачи в системе принятых аксиом – и получит Филдсовскую премию. А Кантор, с его верой в божественное происхождение чисел, наверное, просто не мог допустить подобной несуразности.
Автор книжки, излагающей эту историю, тоже пытается отстаивать объективное существование чисел. Аргументирует он от противного: если бы числа были просто нашим изобретением, то все их свойства были бы нам уже заранее известны; на деле же мы постоянно открываем что-то новое. Похоже, он совсем забыл ожившего монстра доктора Франкенштейна :)
Спасибо уважаемому 
evgeniirudnyi за наводку на книжку.
Posts from This Journal by “бесконечность” Tag
-
Порвались струны моей гитары
Меня давно занимало, а как вообще физики додумались до каких-то струн? Ответ есть в книжке Ли Смолина: первым толчком послужил вопрос, а что, если…
-
Но ныне горьких слез темно происхожденье
Проблема происхождения жизни (и тем более Вселенной), конечно, представляет для естествознания немалые трудности. Прямая экспериментальная проверка…
-
И обнаружил микроскоп, что на клопе бывает клоп
С легкой руки Бенуа Мандельброта слово «фрактал» вошло в повседневный обиход, а психоделические компьютерные симуляции фракталов захватили…
Page Summary
- joint_joint : (no subject) [+3]
- skichmana : (no subject) [+1]
- hyperboreus : (no subject) [+4]
- napoli : (no subject) [+1]
- evgeniirudnyi : (no subject) [+47]
- piterburg : (no subject) [+1]
- (Anonymous) : (no subject) [+1]
- (Anonymous) : (no subject) [+5]
- (Anonymous) : (no subject) [+1]
- (Anonymous) : (no subject) [+1]
Comments
если бы мы перестали шагать, мы бы уже давно стояли на месте...
числа существуют объективно и являются нашим изобретением,
если процесс соотнесения различных объектов не останавливать, свойства не будут конечными.
Впрочем, неверие может тормозить его еще больше: вот Кронекер не верил в существование действительных чисел и сделал все возможное, чтобы отравить существование Кантора :(
Например, он пишет, что лестница бесконечностей Кантора - может быть, еще не все. Возможно, существует еще бесконечное число классов бесконечностей, каждый из которых так же отделен от класса канторовских бесконечностей, как они сами - от конечных чисел (в том смысле, что никакими математическими операциями над конечными числами нельзя получить бесконечность).
Такую штуку придумал Гедель (автор знаменитых теорем о неполноте), но никто пока не доказал это наверняка.
Печально, что столь абстрактная проблема, как существование чисел, могла привести к такой беспощадной вражде, какую питал к Кантору его учитель, Леопольд Кронекер :(
Впрочем, это еще не самая ужасная вражда, поводом к которой послужило расхождение в абстракных идеях - просто от математиков ожидаешь больше ума ;) Кантор-то был несомненный гений, но и Кронекер, как пишет автор книжки, внес значительный вклад в некоторые области математики (но не в анализ, которого не признавал).
Edited at 2016-02-20 03:20 pm (UTC)
У неконтактного племени pirahã отсутствие развитой торговли и культуры запасать провизию обусловило отсутствие счёта. Больше 3 они не считают, да и сами эти три числительных обозначают не индивидуальные предметы, а что-то типа групп предметов, состоящих из разного количества предметов по ситуации или по субъективному взгляду говорящего.
Также в одной книге по египетской мифологии я встретила рассуждения о нумерологии, где говорилось об 11 богах, причём 11 раскладывалось на 10 и 5. 10 были отдельными "штуками", а 5 богов, хоть и тоже будучи отдельными, считались одной группой и к первым 10 прибавлялись как 1.
Так вот, из данных экспериментов следовало, что каждая из этих систем, по отдельности, есть также и у некоторых высших животных, но только у человека они наличествуют обе, и это и позволило нам создать математику.
К сожалению, я не запомнила имени докладчика (это было на большой конференции, где я была по профессиональному делу, а эта тема была для меня совершенно посторонней), и, когда я потом попробовала найти ее работы, то не смогла - так что я не могу поручиться за точность деталей. Но факт, что этими вещами активно занимаются, и это, конечно, страшно интересная область.
Edited at 2016-02-20 03:06 pm (UTC)
Что, касается платонизма, то по-моему это частный случай вечного спрора об универсалиях: номинализм vs. реализм.
Правда, некоторые места, по-моему, требуют все-таки более подробных пояснений, в частности: откуда взялось, что вероятность того, что, выбрав на прямой континуума произвольную точку, мы попадем на рациональное число, равна нулю? Понятно, что это следует именно из разной мощности множеств действительных и рациональных чисел, но как формально вычисляют вероятности в этом случае, я не знаю.
И несколько других доказательств, о которых автор даже и рассказывает несколько подробнее, я тоже не совсем поняла, но удовольствие от чтения это мне не испортило ;)
А из вещей, не относящихся непосредственно к математике, меня поразил факт путешествия Геделя с женой по Транссибу в 1939 году (или это была уже зима 40-го?) - вовремя они успели!
Edited at 2016-02-20 03:08 pm (UTC)
And a Heaven in a Wild Flower
Hold Infinity in the palm of your hand
And Eternity in an hour.."
Does the winged life destroy;
But he who kisses the joy as it flies
Lives in eternity's sunrise."
Блейк определенно знал толк в предмете ;)